Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática o resolvente es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0\,$

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en $x^n\,$ es de la forma:

$ax^{2n}+bx^n+c=0 \,$

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

Historia

La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia.

En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general se deduce más adelante.

2.- Incompleta pura: Es de la forma:

$ax^2 + c = 0 \,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma:

$ax^2 = 0 \,$

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto, x = 0

3.- Incompleta mixta: Es de la forma:

$ax^2 + bx = 0 \,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

$b^2 - 4ac \,$

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

[editar] Deducción de la fórmula general

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.

Sea dada la ecuación:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde $a \neq 0$ para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

$x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos $\left(\frac{b}{2a} \right)^2$ en ambos miembros de la ecuación: